中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BFFA,连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=
2DG,PO=5,求EF的长. 3
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】
(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出
12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,
32MO1CO1,tanP=,设求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=
BM2PO2EH∥DG,求出OM=
OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案. 【详解】
(1)证明:连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC;
(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,
∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°,
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BFAF,
11o∠BEA=90=45°,
22∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH,
∴FG=FH+GH=DE+DG;
∴∠HEF=∠FEA=
(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,
∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
∵四边形GHED是矩形, ∴EH∥DG,
∴∠OMH=∠OCP=90°,
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°, ∴∠HOM=∠OHM, ∴HM=MO, ∵OM⊥BE, ∴BM=ME, ∴OM=
1AE, 22DG,DG=3a, 3设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°, ∴四边形GHMC是矩形, ∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a, ∵DG=HE,GC=HM, ∴ME=CD=2a,BM=2a, 在Rt△BOM中,tan∠MBO=∵EH∥DP, ∴∠P=∠MBO, tanP=
MOa1, BM2a2CO1, PO2设OC=k,则PC=2k, 在Rt△POC中,OP=5k=5, 解得:k=5,OE=OC=5,
在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5, a=1, ∴HE=3a=3,
在Rt△HFE中,∠HEF=45°, ∴EF=2HE=32. 【点睛】
考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
2.在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点一次落在直线yx上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线yx于点M,BC边交x轴于点N(如图).
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;
(3)设MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.
【答案】(1)π/2(2)22.5°(3)周长不会变化,证明见解析 【解析】
试题分析:(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积; (2)解决本题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数; (3)利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.
试题解析:(1)∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45°,
∴OA旋转了45°.
4522∴OA在旋转过程中所扫过的面积为.
3602(2)∵MN∥AC,
∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°. ∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN. 又∵BA=BC,∴AM=CN.
又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,∴△OAM≌△OCN.
∴∠AOM=∠CON=
11(∠AOC-∠MON)=(90°-45°)=22.5°. 22∴旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°. (3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化. 证明:延长BA交y轴于E点,
则∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM, ∴∠AOE=∠CON.
又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN. ∴△OAE≌△OCN. ∴OE=ON,AE=CN.
又∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM, ∴△OME≌△OMN.∴MN=ME=AM+AE. ∴MN=AM+CN,
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4. ∴在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化. 考点:旋转的性质.
3.如图,在直角坐标系中,已知点A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上。 (1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径等于4,试判断直线OB与⊙M的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,⊙M与x轴,y轴都相切,切点分别为E,F,试求出点M的坐标;
(3)如图3,⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)
【答案】(1)OB与⊙M相切;(2)M(-【解析】
分析:(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可;
(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=入y=
2424,);(3)M(-2,2) 773x+6,设M(a,﹣a),把x=a,y=﹣a代43x+6得出关于a的方程,求出即可. 4 (3)连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,设ME=MF=MG=r,根据
1111AO•ME+BO•MF+AB•MG=AO•BO求得r=2,据此可得答案. 2222详解:(1)直线OB与⊙M相切.理由如下: 设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,
∵点M是线段AB的中点,所以MD∥AO,MD=4, ∴∠AOB=∠MDB=90°,∴MD⊥OB,点D在⊙M上. 又∵点D在直线OB上,∴直线OB与⊙M相切; (2)如图2,连接ME,MF,
S△ABC=
8kb0 ∵A(﹣8,0),B(0,6),∴设直线AB的解析式是y=kx+b,∴,解
b633得:k=,b=6,即直线AB的函数关系式是y=x+6.
44 ∵⊙M与x轴、y轴都相切,∴点M到x轴、y轴的距离都相等,即ME=MF,设M(a,﹣a)(﹣8<a<0),把x=a,y=﹣a代入y=
33x+6,得:﹣a=a+6,得:a=﹣44242424,). ,∴点M的坐标为(﹣
777 (3)如图3,连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,
∵⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB,设ME=MF=MG=r,则S△ABC=
1111AO•ME+BO•MF+AB•MG=AO•BO. 2222 ∵A(﹣8,0),B(0,6),∴AO=8、BO=6,AB=∴
AO2BO2=10,
1111r•8+r•6+r•10=×6×8,解得:r=2,即ME=MF=2,∴点M的坐标为(﹣2,22222).
点睛:本题考查了圆的综合问题,掌握直线和圆的位置关系,用待定系数法求一次函数的解析式的应用,能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键,注意:直线和圆有三种位置关系:已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时,直线l和⊙O相切.
4.问题发现.
(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB边上任意一点,则CD的最小值为______.
(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.
(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.
【答案】(1) CD【解析】
129615;(2) CMMN的最小值为.(3) 5252试题分析:(1)根据两种不同方法求面积公式求解;(2)作C关于BD的对称点C,过
C作BC的垂线,垂足为N,求CN的长即可;(3) 连接AC,则
S四AGCDSADCSACG,GBEBABAE321,则点G的轨迹为以E为圆
心,1为半径的一段弧.过E作AC的垂线,与⊙E交于点G,垂足为M,由
AEM∽ACB求得GM的值,再由S四边形AGCDS试题解析:
ACDSACG 求解即可.
(1)从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线,垂足为D,
CDABACBCS22∴CDABC,
ACBC3412, AB55(2)作C关于BD的对称点C,过C作BC的垂线,垂足为N,且与BD交于M,
则CMMN的最小值为CN的长, 设CC与BD交于H,则CHBD, ∴
BMC∽BCD,且CH12, 524, 5∴CCBBDC,CC∴
CNC∽BCD,
244CCBC96, ∴5CNBD52596即CMMN的最小值为.
25(3)连接AC,则S四AGCDSADCSACG,
GBEBABAE321,
∴点G的轨迹为以E为圆心,1为半径的一段弧. 过E作AC的垂线,与⊙E交于点G,垂足为M, ∵AEM∽ACB, EMAE∴, BCACAEBC248, ∴EMAC5583∴GMEMEG1,
55∴S四边形AGCDSACDSACG,
113345, 22515. 2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识,解题的关键是利用轴对称解决最值问题,灵活运用两点之间线段最短解决问题.
5.如图1,已知⊙O是ΔADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交⊙O于点C,连接AC,BC. (1)求证:AC=BC;
(2)如图2,在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作⊙O的切线AH,若AH//BC,求∠ACF的度数;
(3)在(2)的条件下,若ΔABD的面积为63,ΔABD与ΔABC的面积比为2:9,求CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)30°;(3)233 【解析】
分析:(1)运用“在同圆或等圆中,弧相等,所对的弦相等”可求解;
(2)连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC,易证∠IAC=30°,故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB,由CF是直径可得∠ACF的度数;
(3)过点D作DG⊥AB ,连接AO,知ABC为等边三角形,求出AB、AE的长,在RtΔAEO中,求出AO的长,得CF的长,再求DG 的长,运用勾股定理易求CD的长. 详解:(1)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC, ∴AC=BC. (2)如图,连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC, ∴AI⊥BC, ∴BI=IC, ∵AC=BC, ∴IC=
1AC, 2∴∠IAC=30°,
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB. ∵FC是直径, ∴∠FAC=90°,
∴∠ACF=180°-90°-60°=30°. (3)过点D作DGAB,连接AO
由(1)(2)知ABC为等边三角形 ∵∠ACF=30°, ∴ABCF, ∴AE=BE, ∴SΔABC3AB2273, 4∴AB=63, ∴AE33.
在RtΔAEO中,设EO=x,则AO=2x, ∴AO2AE2OE2, ∴2x3322x2,
∴x=6,⊙O的半径为6, ∴CF=12.
∵SΔABDABDG∴DG=2.
如图,过点D作DGCF,连接OD. ∵ABCF,DGAB, ∴CF//DG,
∴四边形G′DGE为矩形, ∴GE2,
1163DG63, 22CGGECE63211,
在RtΔOGD中,OG5,OD6,
∴DG11, ∴CDDG2CG211112233 点睛:本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念,垂径定理,勾股定理,圆周角定理等
相关知识.比较复杂,熟记相关概念是解题关键.
6..如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A重合),⊙D与AB相切,切点为E,⊙D交射线..DC于点F,过F作FG⊥EF交直线..BC于点G,设⊙D的半径为r. (1)求证AE=EF;
(2)当⊙D与直线BC相切时,求r的值;
(3)当点G落在⊙D内部时,直接写出r的取值范围.
【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3) 3r【解析】 【分析】
63 5(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,即可求解;
(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F,∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理,即可求解;
(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况,分别求解即可. 【详解】
解:设圆的半径为r;
(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,
而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A, ∴AE=EF;
(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F
∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r, 由勾股定理得:(3r)2+9=36, 解得:r=3;
(3)①当点F在线段AC上时,如图3所示,连接DE、DG,
FC333r,GC3FC933r
②当点F在线段AC的延长线上时,如图4所示,连接DE、DG,
FC333r,GC3FC33r9
两种情况下GC符号相反,GC2相同, 由勾股定理得:DG2=CD2+CG2, 点G在圆的内部,故:DG2<r2, 即:(332r)2(33r9)2r2 整理得:5r2113r180 解得:3r【点睛】
本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;利用勾股定理计算线段的长.
63 5
7.如图,点B在数轴上对应的数是﹣2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB,使点A在原点的左上方,且tan∠AOB=3,点C为OB的中点,点D在数轴上对应的数为4.
(1)S扇形AOB= (大于半圆的扇形);
(2)点P是优弧AB上任意一点,则∠PDB的最大值为 °
(3)在(2)的条件下,当∠PDB最大,且∠AOP<180°时,固定△OPD的形状和大小,以原点O为旋转中心,将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤360°)
①连接CP,AD.在旋转过程中,CP与AD有何数量关系,并说明理由; ②当PD∥AO时,求AD2的值;
③直接写出在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围.
【答案】(1)【解析】 【分析】
10(2)30(3)①AD=2PC②20+83或20+83③1≤d≤3 3(1)利用扇形的面积公式计算即可.
(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题. (3)①结论:AD=2PC.如图2中,连接AB,AC.证明△COP∽△AOD,即可解决问题. ②分两种情形:如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.求出PC即可.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得. ③判断出PC的取值范围即可解决问题. 【详解】
(1)∵tan∠AOB=3, ∴∠AOB=60°,
3002210∴S扇形AOB= (大于半圆的扇形), 3603(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.
∵PD是⊙O的切线, ∴OP⊥PD, ∴∠OPD=90°,
OP21 OD42∴∠PDB=30°,
∵sinPDO同法当DP′与⊙O相切时,∠BDP′=30°, ∴∠PDB的最大值为30°. 故答案为30.
(3)①结论:AD=2PC. 理由:如图2中,连接AB,AC.
∵OA=OB,∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∵BC=OC, ∴AC⊥OB,
∵∠AOC=∠DOP=60°, ∴∠COP=∠AOD,
AOOD2, OCOP∴△COP∽△AOD,
∵
ADAO2, PCOC∴AD=2PC.
∴
②如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.
∵OP=OK,∠POK=60°, ∴△OPK是等边三角形, ∵PD∥OA,
∴∠AOP=∠OPD=90°, ∴∠POH+∠AOC=90°, ∵∠AOC=60°, ∴∠POH=30°, ∴PH=
1OP=1,OH=3PH=3, 2∴PC=PH2CH212(13)2523, ∵AD=2PC,
∴AD2=4(5+23)=20+83.
如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得:PC2=12+(3﹣1)2=5﹣23,AD2=4PC2=20﹣83.
③由题意1≤PC≤3,
∴在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3. 【点睛】
本题属于圆综合题,考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,旋转变换,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
8.如图,已知AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC、AC,且∠BOC<90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE (1)求证:直线CG为⊙O的切线;
(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH, ①△CBH∽△OBC ②求OH+HC的最大值
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②5. 【解析】
分析:(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF,由圆的性质可知:∠CAB=∠OCA,所以∠OCA=∠GCE,从而可证明直线CG是⊙O的切线;
(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=∠CHB,易证∠CBH=∠OCB,从而可证明△CBH∽△OBC;
BCHBBC2=②由△CBH∽△OBC可知:,所以HB=,由于BC=HC,所以OCBC4BC2OH+HC=4−+BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.
4详解:(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90° ∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA, ∴∠OCA+∠OCB=90°, ∵∠GAF=∠GCE,
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°, ∵OC是⊙O的半径, ∴直线CG是⊙O的切线; (2)①∵CB=CH, ∴∠CBH=∠CHB, ∵OB=OC,
∴∠CBH=∠OCB, ∴△CBH∽△OBC
BCHB=②由△CBH∽△OBC可知: OCBC∵AB=8,
∴BC2=HB•OC=4HB, BC2∴HB=,
4BC2∴OH=OB-HB=4- 4∵CB=CH,
BC2∴OH+HC=4−+BC,
4当∠BOC=90°,
此时BC=42 ∵∠BOC<90°, ∴0<BC<42,
x2令BC=x则CH=x,BH=
4112OHHCx2x4x25
44当x=2时,
∴OH+HC可取得最大值,最大值为5
点睛:本题考查圆的综合问题,涉及二次函数的性质,相似三角形的性质与判定,切线的判定等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所知识.
9.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E. (1)求OE的长;
(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果保留)
【答案】(1)OE的长为(2)阴影部分的面积为【解析】 (1)OE=
3; 23 233 (2)S= 22
10.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠DAB=120°,BC=CD,AD=4,AC=7,求AB的长度.
【答案】AB=3. 【解析】 【分析】
作DE⊥AC,BF⊥AC,根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系,求得BCCD,进而得到∠DAC=∠CAB=60°,在Rt△ADE中,根据60°锐角三角函数值,可求得DE=23,AE=2,再由Rt△DEC中,根据勾股定理求出DC的长,在△BFC和△ABF中,利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF的长,然后根据求出的两个结果,由AB=2AF,分类讨论求出AB的长即可. 【详解】
作DE⊥AC,BF⊥AC,
∵BC=CD, ∴BCCD, ∴∠CAB=∠DAC, ∵∠DAB=120°, ∴∠DAC=∠CAB=60°, ∵DE⊥AC,
∴∠DEA=∠DEC=90°, ∴sin60°=
DEAE,cos60°=, 44∴DE=23,AE=2, ∵AC=7, ∴CE=5, ∴DC=2325237,
∴BC=37, ∵BF⊥AC,
∴∠BFA=∠BFC=90°, ∴tan60°=
BF,BF2+CF2=BC2, AF∴BF=3AF, ∴
327AF237,
2∴AF=2或AF=∵cos60°=
3, 2AF, AB∴AB=2AF,
当AF=2时,AB=2AF=4, ∴AB=AD, ∵DC=BC,AC=AC, ∴△ADC≌△ABC(SSS), ∴∠ADC=∠ABC, ∵ABCD是圆内接四边形, ∴∠ADC+∠ABC=180°, ∴∠ADC=∠ABC=90°, 但AC2=49,AD2DC242AC2≠AD2+DC2,
∴AB=4(不合题意,舍去),
37253,
3时,AB=2AF=3, 2∴AB=3. 【点睛】
当AF=
此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质,解题关键是构造直角三角形模型,利用直角三角形的性质解题.
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