第２６卷第３期 宁德师范学院学报（自然科学版） ＶｏＩ．２６№．３ ２０１４年８月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｉｎｇｄｅ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ａｕｇ．２０１４ 各类积分间的区别与联系 许丽莉 （宁德师范学院数学系，福建宁德３５２１００） 摘要：从积分概念、几何意义、几何运用、计算等方面，阐述高等数学课程中各种不同类型积分间的区别与 联系． 关键词：定积分；二重积分；三重积分；曲线积分；曲面积分 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—２４８１（２０１４）０３－０３０６－０４ 在《高等数学》课程中，积分是很重要的一块内容，由于积分概念的多样性、复杂性、抽象性以及计算 的困难，使得学生的学习犹如行走于迷宫，满头雾水．因此有必要对各种不同积分间的区别与联系以及 相互转化关系重新进行梳理，使学生能够更好地掌握相关知识． １积分概念 各类积分来源于不同的现实模型，虽然实际意义不同，但其解决问题的方法是一致的，均是运用“分 割；取近似；求和；取极限”的数学方法，最终转化成求乘积和式的极限．因此可抽象概括出各类积分概念 共同的本质属性． 设Ｑ为一几何形体（它可以是直线或曲线段或平面图形或一块曲面或一块空间区域等），这个几何 形体是可以度量的（即它是可以求长或求面积或求体积的等等），在这个几何形体Ｑ上定义一个函数 ． ）．Ｍ∈Ｑ将此几何形体Ｑ分为若干可以度量的小块△Ｑ ，△Ｑ ，…，△ ，把它们的度量大小记为△ （ １，２，…，ｎ），并令ｄ＝ｍａｘ｛Ａｌ￣ 的直径），在每一块Ａｌｌ 中任意取一点 ，作下列和式： ）△ ．如果 ｉ＿１ 这个和式不论对于Ｑ的怎样分划以及 在△Ｑ止如何取法，只要当ｄ—加时恒有同一极限，，则称此极限为 ＡＭ）在几何形体Ｑ上的积分，记为 ｒ，－一ｎ ，一ｌ… Ｍ） ｄｌ￣＝ｌｉｍ 扛ｌ ）△Ｑ 上述定义就将各类积分的概念统一起来，而几何形体Ｑ的选择正是产生各类积分的原因．如Ｑ为一 块可求面积的平面图形Ｄ，那么 上的积分就称为二重积分，在直角坐标系下记为ｊ ，），）ｄｋ『．正是因为 各类积分的这种内在统一性，学生在学习过程中可采取类比、化归的学习方法，掌握各类积分的本质联 系和区别． ２几何意义 不同类型的积分有相应的几何意义，在这里列举出常见的几种，从而可以直观地进行对比和联系． 收稿日期：２０１４＿ｏ４＿２８ 通讯作者：许丽莉（１９８２一），女，讲师．Ｅ—ｍａｉｌ：２５３１０３６１＠ｑｑ．ｃｏｒｎ 第３期 许丽莉：各类积分间的区别与联系 ・３ｏ７・ （１） ）≥０时，定积分』 ）ｄ）【表示由曲线）， ）， 轴及直线 ， ：６所围成的曲边梯形面积嘲． （２）当 ，ｙ）≥０时，二重积分ＪＩＡｘ，ｙ）ｄ叮表示区域Ｄ上以连续曲面ｚ ，ｙ）为顶的曲顶柱体体积． （３） ，），） ｏ时，第一型曲线积分Ｊ ，ｙ） 表示以 为准线，以垂直于 面的直线为母线的柱 面介于 标面与曲面 ， ）之间的面积【３】＿ （４） ，），，ｚ）＝１时，三重积分Ⅲ１ 表示空间区域Ｇ的体积；第一型曲面积分Ｊ １ｄ仃表示曲面Ｉｓ的面 积．一般地，若被积函数 ）；１，由定义可知』Ｑ１ｄＱ就是几何形体Ｑ的度量，即』ＱｄＱ＝喜△Ｑ ＝（Ｑ的 度量）．如Ｉ ＝６一ｎ是区间 ，６】的长度． ３几何上的应用 各类积分在几何、物理及许多实际问题中都有着很广泛的运用，这里主要是针对几何中的问题，概 括地说明各类积分在求面积和体积中的应用，从而对比它们之间的区别与联系． （１）利用定积分可以求曲边梯形面积、平面图形面积；旋转体体积、截面积已知的立体体积等． （２）利用二重积分可以求平面区域Ｄ的面积（如ｓ＝ＪＤ ｄ．ｄｙ），曲面面积（如ｓ：ｊ、Ｄ ／ ，Ｓ （ｘ，ｙ），（ｘ，ｙ）∈Ｄ）；曲顶柱体的体积． （３）利用三重积分可以求空间区域Ｇ的体积（如 ＝皿 ）、由闭曲面所围立体的体积． （４）利用第一型曲线积分可以求特殊柱面面积（如』 ，），） ）；利用第一型曲面积分可以求特殊曲 面面积（如皿ｄ盯）． ４计算方面 以直角坐标系为例，以下内容基于基本的假设如函数是连续的，曲面是光滑的，是有界闭区域等等， 即均满足相应定理条件． ４．１基本计算公式 （１）二、三重积分可化为累次积分计算 女Ⅱ． 叮： ｆ ｙ）ｄｙ： 艨 ） Ⅲ ） ：』： 』芝 』 （ ）出 （２）曲线积分可化为定积分计算 宁德师范学院学报（自然科学版） ２０１４年８月 如：第一型曲线积分Ｉ ，ｙ）ｄｓ＝Ｊ ，ｙ（ｘ）ｌＶｌ＋ｙ‘（ ）ｄｘ 第二型曲线积分Ｊ，Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝ｊ ｆ尸 ，ｙ（ ）］＋Ｑ ，ｙ（ ） （ ）Ｊ ； （３）曲面积分可化为二重积分计算（设Ｓ：ｚ＝Ｚ（ｘ，Ｙ），（ ，Ｙ）∈Ｄ） 如：第一型曲面积分ｆｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄ叮：ｆ占 ， ｙ， （ ，ｙ）】、／ 第二型曲面积分８ ，Ｙ，彳）ｄｘｄｙ＝＋４白 ｊｆ（ｘ，ｙ， （ ，ｙ））ｄｘｄｙ； 其中符号“±”由曲面ｓ的正侧外法线与ｚ轴正向的夹角余弦的符号决定． ４．２相互转化 （１）二、三重积分只要运用累次积分法即可转化为定积分，曲线积分通过基本计算公式可转化为定 积分，曲面积分通过基本计算公式可转化为二重积分［４］． （２）两类曲线积分的转化ｆ Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ＝ｌ （Ｐｃｏｓａ＋Ｑｃｏ￣）ｄｓ （３）两类曲面积分的转化４ Ｐｄｙｄｚ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒｄｘｄｙ＝４（Ｐｃｏｓａ＋Ｑｃｏｓｌｆ＋ＲｃｏｓＴ）ｔＳｌ 其中ｎ＝｛ｃｏｓｏ／，ｃｏ ，ｃｏｓｙ｝为有向曲面．ｓ在点（ ，Ｙ，ｚ）处法向量的方向余弦． （４）二重积分与第二型曲线积分的转化（格林公式）』（等一筹） ｄ Ｊ 一Ｑａｒ （５）三重积分与第二型曲面积分的转化（高斯公式）ｌ ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒ ｄ （ ＯＰ＋ ＋警） ｄ （６）第二型曲线积分与第二型曲面积分的转化（斯托克斯公式） 』 ＋Ｑｄｙ＋Ｒｄｚ＝《（警一等） ＋（争ＯＲ ）ｄｚｄｘ＋（ 一）ｄ￣ｄｙ （７）第一型曲线积分与第一型曲面积分的转化 结合第一型曲线积分的几何意义，得出第一型曲线积分与第一型曲面积分的转化公式： 设曲面是母线平行于ｚ轴的有界光滑柱面，在ｘＯｒ面上的投影为光滑曲线Ｌ，过￡内任意一点（ ，Ｙ）∈Ｌ 作平行 轴的直线，与曲面边界至多两个交点（ ，Ｙ， （ ，Ｙ）），（戈，Ｙ， ：（ ，Ｙ）），其中 ≤ｚ俎 ｚ 为己上连 续函数， ，），）为和 上连续函数，则嗣８ ，ｙ）ｄｘ＝Ｊ／（ ，ｙ）（ｚ：（ ，ｙ）－ｚ （ ，），））ｄｓ （８）第二型曲线积分与第一型曲面积分的转化 结合第一型曲线积分与第一型曲面积分的转化公式及两类曲线积分的转化公式可得出第二型曲线 积分与第一型曲面积分的转化公式： 设曲面是母线平行于 轴的有界光滑柱面，在 ０ｙ面上的投影为光滑曲线Ｌ，过 内任意一点（ ，Ｙ）∈Ｌ 作平行于确扫的直线，与曲面边界至多两个交点（ ，Ｙ， ｔ（ ，Ｙ）），（ ，Ｙ，ｚ：（ ，Ｙ）），其中ｚ ≤ｚ ｚ：为厶上连 续函数．设 ，ｙ）为和 上连续函数，再假设对于被积函数Ｐｃｏｓａ＋Ｑｃｏｓｌｆ是聊彳轴上的连续函数，其中 ， 分别为切线正向与 ，ｙ轴间的夹角，则 ８（Ｐ（ ，ｙ）ｃｏｓｏ￣＋Ｑ（ｘ，），）ｃｏ ）ｄｓ＝ｌ，Ｐ（ ，），）（ｚ：（ ，ｙ）－ｚ （ ，，，）） 十 “ Ｑ（ｘ，），）（ （ ，ｙ） （ ，Ｙ））ｄｙ 第３期 许丽莉：各类积分间的区别与联系 ・３Ｏ９・ ４．３相互联系 主要从以下三个方面，用图例的方式，直观的展现出各类积分之间的相互联系． （１）四个重要积分公式间的联系 推广 推广 Ｎ—Ｌ公式！＝；＝Ｇｒｅｅｎ公式！；Ｇａｕｓｓ公式 特殊 特殊 推广 Ｉ殊 Ｉ十特 Ｓｔｏｋｅｓ公式 四个积分公式中格林（Ｇｒｅｅｎ）公式是核心，牛顿一莱布尼兹（Ｎ—Ｌ）公式是基础．它们具有共性，即在一 定条件下，沿适当几何形体边界的积分可以转换为分布于这个几何形体上的积分［４１． （２）四类曲线曲面积分间的相互转化关系可由下图体现： 第一型曲线积分铮第一型曲面积分 Ｏ 第二型曲线积分臼第二型曲面积分 （３）无论是何种积分的计算，最终都可以归结为定积分的计算： 曲面积分 二重积分 Ｕ 曲线积分｝｝ 定积分 本文将一些问题的概要提取出来，省略了许多说明，只是为了更加直观明了，因此也存在着诸多的 不足之处．通过对一些问题的提炼、总结与对比，希望对学生理解和学习各类积分的相关知识，能起到一 定的帮助作用． 参考文献： ［１陈传璋．数学分析（下册）［１］Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８３． ［２］邱淦悌．高等数学【Ｍ］．厦门：厦门大学出版社，２０１２． ［３孙清华，３］郑小姣．高等数学内容、方法与技巧（下）［Ｍ】．武汉：华中科技大学出版社，２００４． ［４］张盈．微积分中几类积分之间的联系叨．吉林省教育学院学报，２０１２（１ １）：１４９—１５０． 【５］江蓉．关于曲线积分与曲面积分教学的探讨［Ｊ】．西南师范大学学报：自然科学版，２０１２（２）１４２—１４５． ［６］李育强．曲线积分在曲面积分中的应用［Ｊ］．大学数学，２００３（３）：１０６—１０８． ［７］俞亚娟．第二型曲线积分在第一型血面积分中的应用【Ｊ］．高师理科学刊，２０１１（３）：３３—３５． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ＸＵ Ｌｉ—ｌｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｉｎｇｄｅ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎｉｎｇｄｅ，Ｆｕｊｉａｎ ３５２１００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ，ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｃｅ，ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｅｘｐｏｕｎｄｓ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｅ ｏｆ” Ｈｉｇｈｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｃｕｒｖｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｓｕｒｆａｃｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ