五年级奥数题:约数与倍数(A)+答案
年级 班 姓名 得分 一、填空题
1.28的所有约数之和是_____.
2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.
4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7. 一块长48厘米、宽42厘米的布,不浪费边角料,能剪出最大的正方形布片_____块.
8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.
9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10. 含有6个约数的两位数有_____个.
11.写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质,请问有多少组这种解?
12.和为1111的四个自然数,它们的最大公约数最大能够是多少?
1313.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳4米,黄鼠狼每次跳2米,
243它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔12米设有一个陷井,当它们
8之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14. 已知a与b的最大公约数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组?
(例如:a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组)
———————————————答 案——————————————————————
答 案:
1. 56
28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56. 2. 4
因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3. 64
因为28=227,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…,9中,只有6与4之积,或者8与3之积是24,又6-4=2,8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64. 4. 28
因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能. 当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能. 所以,一班共有28名学生. 5. 40或20
两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6. 36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数、桔子相等,小朋友的人数一定是36的约数,又要是108的约数,即一定是36和108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨: 3636=1(只) 每个小朋友可分得桔子: 10836=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只. 7. 56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公约数.
因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公约数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片. 8. 200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200块棱长是9厘米的正方体.
9. 150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元
钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10. 16
含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘;二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次,如果用M表示含有6个约数的数,用a和b表示M的质因数,那么 Ma5或Ma2b
因为M是两位数,所以M= a5只有一种可能M=25,而M= a2b就有以下15种情况:
M223,M225,M227, M2211,M2213,M2217,
M2219,M2223,M322, M325,M327,M3211,
M522,M523,M722.
所以,含有6个约数的两位数共有 15+1=16(个)
11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解,得
1111=11101
最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015, 它们的和恰好是
101(1+2+3+5)=10111=1111, 它们的最大公约数为101.
所以101为所求.
339913. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2与12的“最小公倍数”,
484139911即跳了=9次掉进陷井,狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4和12的
284499999=11次掉进陷井. “最小公倍数”,即跳了
222经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是
419=40.5(米). 214. 先将12、300分别进行质因数分解: 12=223 300=22352
(1)确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300). (2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或125,或1225; 当a=60,300时,b都只能取12. 所以,满足条件的a、b共有5组:
a=12 a=12 a=12 a=60 a=300 b=12, b=60, b=300, b=12, b=12. (3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值,依题意,c均有6个不同的值:
52,522,5222,523,5223,52223,即25,50,100,75,150,300. 所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30(组)
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