第一轮复习自己整理绝对经典2016向量--第一轮

题型一:定义判断

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；

|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线； ④三点A、B、C共线AB、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。 向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 例1.平面向量a,b共线的充要条件是（ ）

A.a,b方向相 同 B. a,b两向量中至少有一个为零向量 C.存在R,ba D存在不全为零的实数1,2,1a2b0

例2.下列命题正确的是（ ） A、若a∥b，且b∥c，则a∥c。

B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。 C、向量AB的长度与向量BA的长度相等 。

D、若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。 例3.给出下面四个命题：

①对于任意向量a、b，都有|a·b|≥a·b成立； ②对于任意向量a、b，若a=b，则a=b或a= -b；

③对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立； ④对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立. 其中错误的命题共有 . 例4.给出下列命题: ①若a+b=0,则a=b=0; ②已知A(x1,y1),B(x2,y2),则

xx2y1y21AB(1,); 2222

2

2

2



③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|

④已知10,20,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线; 其中正确命题的序号是 .

例5．如果e1、 e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ） ①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；

③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)； ④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.

A.①② B．②③ C．③④ D．仅② 真题：

（2014北京东城区统一检测）若a，b是两个非零向量，则|a+b|＝|a-b|是ab的 条件 （2013年高考广东卷（文））设是已知的平面向量且

aa0,关于向量的分解,有如下四个命题:

a①给定向量,总存在向量c,使abc;

b②给定向量b和c,总存在实数和,使abc;

③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc; ④给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

（15北京文科）设a，b是非零向量，“abab”是“a//b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

（15年安徽文科）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB2a，AC2ab，则下列结

论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）

①a为单位向量；②b为单位向量；③ab；④b//BC；⑤(4ab)BC

（15年陕西理科）对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）

|ab||a||b| B．|ab|||a||b|| C．(ab)2|ab|2 D．(ab)(ab)ab A．

22题型二：平面向量基本定理及基底的相关应用

平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2 向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0|ab||a||b| （2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、 b反向或有0|ab||a||b||a b不共线||a||b|||ab|；当a、|b|||a|b；当a、). ||a|b|||a|b|a|(|这些和实数比较类似b（3）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1 例6.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,AB2CD, M、N分别是DC,AB的中点,已知ABa,ADb,试用a、b表示DC,BC和MN.

D

M

C

1→→例7.在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB.DC与OA交于E，设OA＝a，OB＝b，用

3

A B N →→

a，b表示向量OC，DC.

例8.已知在△ABC中，BD2DA,点E为AC的中点，CD与BE交于点F，试用AB与AC表示AF.

例9.在平行四边形ABCD中，M, N分别为DC，BC的中点，已知AMa,ANb，试用a,b表示AB,AD。 例10.在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,CBa，CAb,a1,b2,则CDA.



( )

21431234ab, B. ab, C. ab, D. ab,

55333355三点共线定理的应用：

例11.在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设ABa,BCb,则AH A.

24242424ab, B. ab, C. ab, D. ab, 55555555例12.在△ABC中，AR2RB,CP2PR,若APmABnAC,则mn

A．

2 3B.

7 9C．

8 9D．1

→→→

例13.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2OA＋xOB＋BC＝0，实数x为( ) －1＋5A．－1 B．0 C.

2

1＋5D.

2

→

例14.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a， →→

BD＝b，则AF等于( )

11211112A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 42332433例15.在ABC中，N是AC边上的一点，且AN为 .

12,则实数m的值,P是BN上的一点，若NCAPmABAC29AB2,AC1,BAC120，例16.已知O是ABC的外心，若AO1AB2AC，则12的值为（ ）

A．2 B．

01375 C． D． 632例17.若向量a(3,2),b(2,1),c(7,4),现用a、b表示c,则c= . 真题：

（湖南六校联考2014）设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，→→

且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．

（2015洛阳市统考）已知直角坐标系内的两个向量a(1,3),b(m,2m3)使平面内的任意一个c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是 .

题型三：向量的几何运算及三角形的四心

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC； ②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

在ABC中：

①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3y1y2y3, 33②PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；

3③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

例18.若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_________________ 例19.若O是ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为__________ 内心

例20.O是ABC所在平面内一定点，动点P满足OPOA(ABABACAC),【0，），则点

P的轨迹一定通过ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 例21.已知非零向量AB与AC满足(ABABACAC)BC0，且

ABABACAC1，则ABC为（ ） 2A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 重心

例22.O是ABC内一点，OCOAOB0，则为ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 垂心

例23.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA(ABABCOSBACACCOSC),R,则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 外心

例24.已知点O，N，P在ABC所在平面内，且

OAOBOC,0NANBNC，

PAPBPBPCPCPA，则O，N，P依次是ABC的（ ）

A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、内心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 内心

题型四：平面向量坐标运算及共线问题

设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。 ②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。 ③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1y,2y标减去起点坐标。

④平面向量数量积：abx1x2y1y2。如： ⑤向量的模：|a|1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐

xy,a|a|2x2y2。如

222⑥两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|向量的运算律：

x2x1y2y122

1．交换律：abba，aa，abba；

3．分配律：aaa,abab，abcacbc。

例25.设A(2,3),B(1,5)，且AC2．结合律：abcabc,abcabc，ababab；

1AB，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________ 3→

例26.与向量a =(12,5)平行的单位向量为

例27.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

例28.设AB2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线 2真题：

（2013年高考辽宁卷（文））已知点A1,3,B4,1,则与向量AB同方向的单位向量为 （2014滁州市统考）已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。 （1）若x＝

13,]，函数f(x)ab的最大值为，求的值。 ，求向量a、c的夹角；（2）若x∈[3284题型五：求参量的值

向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： ①abab0；

②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，aaaa,a22a；当a与b反向时，ab＝－ab；

2 b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，当为锐角时，ab＞0，且a、 b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； 且a、③非零向量a，b夹角的计算公式：cos提醒：

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？ 向量平行(共线)的充要条件：a//babx1y2y1x2＝0。

向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20.

例29.已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________. 例30.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝_______.

例31.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 2π

例32.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2, 若a·b＝0，则实数k的值为________．

3真题：

（15年福建文科）设a(1,2)，b(1,1)，cakb．若bc，则实数k的值等于（ ）

abab；④|ab||a||b|。

A．5533 B． C． D．

3 32 2（15年新课标2理科）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________．

题型六：模的相关运算

1

例33.设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝___________

2例34.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝___________ 例35.向量a(x,1),b(1,2),且ab ，则|ab|____________ 例36.已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则b_____

|b|2，|3a2b|3，则|3ab|为__________ 例37：已知|a|1，题型七：求坐标、夹角、数量积及投影

b在a上的投影：为|b|cos，即它是一个实数，但不一定大于0。 ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积

例38.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为______

例39.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 例40.若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于__________

π

例41.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.

3例42.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为（ ） A.13

B.

13 5 C.

65 5D.65

例43.设ab4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于（ ） A．

 B． 63 C．

22 D．或 333例44.如图所示，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则APAC=_______ 例45.a,b,c满足abc0,a1,b2,c2,则abbcca

例46.已知a,b是非零向量且满足abab,则a与ab的夹角是

例47.若向量a与b不共线，ab0,且ca(aaab)b,则a与c的夹角是 例48.已知a2,b1，a与b的夹角为450，求使向量ab与ab的夹角为锐角的的取值范围。

例49.已知a1,b2,a与b夹角为120，abc0,则a与c的夹角为 真题：

（黄冈市二模）知非零向量满足

向量a,b的夹角为60，且ab1,则向量a与c的夹角为 abc0，

，则a(bc)= （东北名校联考）已知3a4b5c0,且abc1（15年新课标2文科）已知a1,1,b1,2,则(2ab)a（ ） A．1 B．0 C．1 D．2

→→→（2015郑州市一模）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)为( )

A．最大值为8 C．是定值6

B．最小值为2 D．与P的位置有关

题型八：向量的最值问题

例50.已知两向量a(1,3),b(2,)，a与b的夹角为锐角，则的范围 例51.已知平面向量a,b，且满足a1,ab2，则b的取值范围

例52.已知向量pab，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) |a||b|A.[0,2] B.[0,1] C.(0,2] D.[0,2]

→→→

例53.在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|AD|的最小值是( )

13

A. B. C.2 22

D.2

2

例54.已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则|c|的最大值是 . 例55.已知单位向量a,b,c，且ab0，(ac)(bc)0,则abc的最大值为 .

0例56.已知直角梯形ABCD中，AD//BC, ADC90,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 动点，则PA3PB的最

小值为 .

例57.已知平面上的向量PA、PB满足PAPB4,AB2，设向量PC2PAPB，则PC的最小值是

22例58.在ABC中，D为BC边的中点，AD=1，点P在线段AD上，则PA(PBPC)的最小值_______

例59.在边长为1的正三角形ABC中，BDxBA,CEyCA,x0,y0,xy1,则CDBE的最大值为_______真题：

→→

（2014·湖南卷）面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋→→

OB＋OD|的最大值是________．

（15年天津理科）在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB2,BC1,ABC60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,BEBC,DF1DC, 则AEAF的最小值为 9（2013年高考湖南（文））已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )

A．21

B．2

C．21

D．22

题型九：图形类问题（向量相关的坐标解法）

例60：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=________.

例61：在矩形ABCD中，AB2，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBFBC2，点E为BC的中点，的值是________.

→→→→→

例62.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是______． →

例63.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中AE＝1→→1→→→

AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为( ) 32

1111A. B. C. D. 5432

→→→→例64.在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB等于( ) A．2 B．3 C．4

D．6

→→例65.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.

例66.已知点o是边长为1的等边三角形ABC的中心，则(OAOB)(OAOC)等于________ 例

67.在△ABC中，AB=2，AC=4，若点P为△ABC的外心，则APBC的值为________

→→→→→→→例68.已知：|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB

m＋

(m，n∈R)，则＝________.

n真题：

→→2

（2014·四川卷）已知F为抛物线y＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

172

A．2 B．3 C. D.10

8

（15北京理科）在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则

x

；y ．

（15年福建理科）已知ABAC,AB,ACt ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且

1tAPABAB4ACAC ，则PBPC 的最大值等于（ ）

A．13 B．15 C．19 D．21

（15年天津文科）在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE21BC,DFDC, 则AEAF的值为 ． 36（15年山东理科）已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则BDCD（ ）

(A)33323a (B) a2 (C) a2 (D) a2

4224题型十：平面向量在函数及三角函数中的应用

例69.在ABC中，已知ABAC3BABC． （1）求证：tanB3tanA； （2）若cosC5，求A的值． 5π3π例70.已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈，.

22

→→

(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；

2sinα＋sin 2α→→

(2)若AC·BC＝－1，求的值．

1＋tan α

例71.在ABC中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c, 向量m2sinB,3,ncos2B,2cos2

2B1,且m//n? 2(I)求锐角B的大小; (II)如果b2,求ABC的面积SABC的最大值?

例72．平面向量a＝(3，－1)，b＝(

2

13, ). 22(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。

13例73.已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量c＝a＋(sin

22α－3)b, d＝－ka＋(sinα)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围。

题型十一：平面向量在解析几何中的应用

x2y2例74.过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点

ab分别为B,C．若AB1BC，则双曲线的离心率是_____ 2x2y2例75.已知F1、F2是椭圆C:221（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2.若

abPF1F2的面积为9，则b=____________.

→

例76.如图，⊙O方程为x2＋y2＝4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N，DP

∥ON，且DM＝2DP.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设F1(0，5)、F2(0，－5)，若过F1的直线交(1) →→中曲线C于A、B两点，求F2A·F2B的取值范围． 例77.a(x,y2),b(x,y2),ab8, （Ⅰ）求M(x,y)的轨迹C；

(Ⅱ)过点（0，3）作直线l与曲线交于A,B两点，OPOAOB，是否存在直线l使OAPB为矩形． 例78.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1,3)，N(5,1)，若点C满足

→→

3→

OCtOM(1)tO(Nt)RC的轨迹与抛物线y24x交于A、B两点； ，点

（1）求点C的轨迹方程； （2）求证：OAOB； 真题：

（2015年新课标1理科）已知M（x0，y0）是双曲线C：

x2y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若2MF1MF2＜0，则y0的取值范围是（ ）

（A）（-

33，） 33 （B）（-

33，） 66（C）（

22222323，） （D）（，）

3333