提公因式法

　　★★  知识体系梳理

　　◆  因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）

　　注意：

　　1、因式分解对象是多项式；

　　2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；

　　3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；

　　◆  分解因式的作用

　　分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

　　◆  分解因式的一些原则

　　（1）提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

　　（2）分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

　　（3）首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。

　　◆  因式分解的首要方法—提公因式法

　　1、公因式 ：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

　　2、提公因式法 ：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的

　　因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

　　3、使用提取公因式法应注意几点：

　　（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

　　（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）

　　（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

　　◆  提公因式法分解因式的关键：

　　1、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）

　　2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）

　　★★  典型例题、方法导航

　　◆  考点一：因式分解的意义

　　【例1】判断下列变形哪些是因式分解？

　　（1） ---------------------------（       ）

　　（2） -------------------（       ）

　　（3） --------------------（       ）

　　（4） ----------------------------------（       ）

　　（5） -------------------------------（       ）

　　【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线

　　【例3】已知关于 的多项式 分解因式为 ，求 的值。

　　◎ 变式议练一

　　1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（      ）

　　a、                b、

　　c、        d、

　　2、辨析下列因式分解是否正确，若错误请改正。

　　（1）分解因式不彻底：

　　（2）提出公因式后漏项：

　　◆  考点二：提公因式法

　　【例4】分解因式：

　　（1）      （2）    （3）

　　（4）           （5）

　　◎ 变式议练二：

　　1、多项式 与多项式 的公因式是               ；

　　2、若多项式 的一个因式是 ，那么另一个因式是（      ）

　　、       、      、       、

　　3、若 是 的因式，则p为（          ）

　　a、－15          b、－2           c、8           d、2

　　4、把下列各式分解因式：

　　（1）          （2）

　　（3）            （4）

　　◆  考点三：提公因式法的应用

　　【例5】计算：（1）        （2）

　　◎ 变式议练三：

　　1、已知 ， ，则              ；

　　2、计算：                        ；

　　3、已知 ，求 的值。

　　◆  考点四：能力拓展

　　【例6】已知 ， ，求 的值；

　　【例7】已知： ，求代数式 的值。

　　【例8】已知整数 、 、 使等式 对任意的 均成立，求 的值；    （山东省竞赛题)

　　◎ 变式议练四：

　　1、多项式 可以分解为两个整式的积，其中一个整式为 ，求另一个整式；

　　2、分解因式：

　　3、（it杯赛）化简：  .

　　◆◆◆  快乐体验

　　将一个乒乓球的半径增加 ，其周长增加 ，将地球的半径增加 ，其周长增加 ，比较 与 的大小；