2019-2020学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：（每题2分，共32分）
1．（2分）下列调查方式中最适合的是（ ） A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查的方式
B．为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查采用抽样调查方式 C．对乘坐某班次客车的乘客进行安检，采用抽查的方式 D．调查本班同学的视力，采用普查的方式
2．（2分）共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保.2019年全国共享单车投放数量达23 000 000辆．将23 000 000用科学记数法表示为（ ） A．23×106 3．（2分）已知A．﹣1
B．2.3×107
C．2.3×106
D．0.23×108
是方程mx﹣y＝2的解，则m的值是（ ）
B．﹣
C．1
D．5
4．（2分）今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A．这4万名考生的全体是总体 B．每个考生是个体
C．2000名考生是总体的一个样本 D．样本容量是2000
5．（2分）下列运算错误的是（ ） A．x2•x3＝x5
B．（x3）2＝x6
C．a+2a＝3a
D．a8÷a2＝a4
6．（2分）利用如图中图形面积关系可以解释的公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
第1页（共22页）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
D．2（a+b）＝2a+2b
7．（2分）社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91～100分的为优胜者，则优胜者的频率是（ ）
分段数（分） 61～70 71～80 81～90 人数（人） A．35%
1
19
22
91～100 18 C．20%
D．10%
B．30%
8．（2分）二元一次方程x+2y＝11的正整数解的个数是（ ） A．3个
B．4个
﹣
C．5个 D．6个
9．（2分）在﹣12，（x﹣3.14）0，21，0这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣12
B．（x﹣3.14）0
C．21
﹣
D．0
10．（2分）下列运算中正确的是（ ） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2
B．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2 D．（a﹣2）（a+3）＝a2﹣6
11．（2分）若（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15，则（ ） A．m＝7
B．m＝﹣3
C．m＝﹣7
D．m＝10
12．（2分）已知x+y＝5，xy＝6，则x2+y2的值是（ ） A．1
B．13
C．17
D．25
13．（2分）某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ） A．C．
B．D．
14．（2分）如图，在长a，宽b的一个长方形的场地的两边修一条公路，若公路宽为x，则余下阴影部分的面积是（ ）
第2页（共22页）
A．ab﹣ax﹣bx+x2 C．ab﹣ax﹣bx+2x2
B．ab﹣ax﹣bx﹣x2 D．ab﹣ax﹣bx﹣2x2
15．（2分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
16．（2分）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：（每空3分，共12分）
17．（3分）把方程2x﹣y＝1化为用含x的代数式表示y的形式：y＝ ． 18．（3分）计算：199×201＝ ．
19．（3分）已知10x＝2，10y＝5，则10x+y＝ ．
20．（3分）如图，在长为5，宽为4的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为 ．
第3页（共22页）
三、用适当的方法解方程：（每个5分，共10分） 21．（10分）（1）（2）
；
；
四、化简计算：（每个4分，共12分） 22．（12分）（1）a5•a3÷a2； （2）（﹣2m）3﹣（m3）2； （3）（﹣2a2b）（abc）•；
五、化简计算：（每个5分，共10分）
23．（10分）（1）5x（2x+1）﹣（x+3）（5x﹣1）； （2）（π﹣2020）0+（）2﹣2101×（）100；
﹣
六、先化简，再求值：（7分）
24．（7分）（a+2）2+3（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1 小明的解法如下： 解：
＝a2+2a+4+3a2﹣3 ＝……
根据小明的解法解答下列问题：
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中出现错误的在第 步；
（2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程，并求出当a＝﹣1时的值． 七.统计题：（8分）
25．（8分）疫情期间，我校“停课不停学”，开展云视讯网上教学，为了解七年级学生课堂发言情况，随机抽取年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
第4页（共22页）
A B C D E F
发言次数n 0≤n＜3 3≤n＜6 6≤n＜9 9≤n＜12 12≤n＜15 15≤n＜18
（1）E组人数为 人；
（2）被调查的学生人数为 人，A组人数为 人，并补全频数分布直方图； （3）求出扇形统计图中，“B”所对应的圆心角的度数：
（4）七年级共有学生1500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数． 八.应用题：（10分）
26．（10分）我校为做好高三年级复课工作，积极准备防疫物资，计划从新兴药房购买消毒液和酒精共40瓶，在获知北国超市有促销活动后，决定从北国超市购买这些物品．已知消毒液和酒精在这两家店的售价如表所示，且在新兴药房购买这些物品需花费900元． 品 名 商 店 新兴药房 北国超市
消毒液 （元/瓶）
24 20
酒精（元/瓶） 20 18
（1）求出需要购买的消毒液和酒精的数量分别是多少瓶？ （2）求从北国超市购买这些物品可以节省多少元？ 九、解决问题：（9分）
第5页（共22页）
27．（9分）观察下列关于自然数的等式： 1×3＝22﹣1，① 2×4＝32﹣1，② 3×5＝42﹣1，③ 4×6＝52﹣1，④ 5×7＝62﹣1，⑤
根据上述规律解决下列问题：
（1）用上面的形式填出第⑥式和第⑦式：
⑥6×8＝ 2﹣1 ⑦ × ＝ 2﹣1 （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示） ； （3）请你验证猜想的正确性． 十、探索发现：（10分）
28．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为 ； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为 ．
第6页（共22页）
2019-2020学年河北省石家庄外国语教育集团七年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题2分，共32分）
1．（2分）下列调查方式中最适合的是（ ） A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查的方式
B．为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查采用抽样调查方式 C．对乘坐某班次客车的乘客进行安检，采用抽查的方式 D．调查本班同学的视力，采用普查的方式
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A．要了解一批节能灯的使用寿命适合抽样调查，原调查方式不合适； B．为保证“神舟9号”的成功发射，对其零部件进行检查采用全面调查，原调查方式不合适；
C．对乘坐某班次客车的乘客进行安检，采用普查的方式，原调查方式不合适； D．调查本班同学的视力，采用普查的方式，原调查方式合适； 故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（2分）共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保.2019年全国共享单车投放数量达23 000 000辆．将23 000 000用科学记数法表示为（ ） A．23×106
B．2.3×107
C．2.3×106
D．0.23×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
第7页（共22页）
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：23 000 000＝2.3×107． 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2分）已知A．﹣1
是方程mx﹣y＝2的解，则m的值是（ ）
B．﹣
C．1
D．5
【分析】直接利用二元一次方程的解法得出答案． 【解答】解：∵解得：m＝1． 故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
4．（2分）今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A．这4万名考生的全体是总体 B．每个考生是个体
C．2000名考生是总体的一个样本 D．样本容量是2000
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：A．这4万名考生的数学成绩是总体，此选项错误； B．每个考生的数学成绩是个体，此选项错误；
C．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误； D．样本容量是2000，此选项正确； 故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总
第8页（共22页）
是方程mx﹣y＝2的解，则3m﹣1＝2，
体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 5．（2分）下列运算错误的是（ ） A．x2•x3＝x5
B．（x3）2＝x6
C．a+2a＝3a
D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原题计算正确，不合题意； B、（x3）2＝x6，原题计算正确，不合题意； C、a+2a＝3a，原题计算正确，不合题意； D、a8÷a2＝a6，原题计算错误，符合题意． 故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2分）利用如图中图形面积关系可以解释的公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．2（a+b）＝2a+2b
2
【分析】由大正方形面积＝两个小正方形面积+2个长方形面积，可得（a+b）＝a2+2ab+b2
【解答】解：∵大正方形面积＝两个小正方形面积+2个长方形面积 ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2 故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是理解完全平方公式．
7．（2分）社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91～100分的为优胜者，则优胜者的频率是（ ）
分段数（分） 61～70 71～80 81～90
91～100
第9页（共22页）
人数（人） A．35%
1 19 22 18 C．20%
D．10%
B．30%
【分析】首先根据表格，计算其总人数；再根据频率＝频数÷总数进行计算． 【解答】解：优胜者的频率是18÷（1+19+22+18）＝0.3＝30%， 故选：B．
【点评】本题考查频率、频数的关系：频率＝频数÷数据总和． 8．（2分）二元一次方程x+2y＝11的正整数解的个数是（ ） A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】将x看做已知数求出y，找出正整数解即可． 【解答】解：∵x+2y＝11， ∴y＝
，
则：当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝4； 当x＝5时，y＝3；当x＝7时，y＝2； 当x＝9时，y＝1； 故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 9．（2分）在﹣12，（x﹣3.14）0，21，0这四个数中，最小的数是（ ）
﹣
A．﹣12 B．（x﹣3.14）0 C．21
﹣
D．0
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：∵﹣12＝﹣1，（x﹣3.14）0＝1，21＝，0，
﹣
∴最小的数是：﹣12． 故选：A．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2分）下列运算中正确的是（ ） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 C．（a+b）2＝a2+b2
B．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2 D．（a﹣2）（a+3）＝a2﹣6
【分析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故原题计算错误；
第10页（共22页）
B、（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故原题计算正确； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误； D、（a﹣2）（a+3）＝a2+a﹣6，故原题计算错误； 故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 11．（2分）若（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15，则（ ） A．m＝7
B．m＝﹣3
C．m＝﹣7
D．m＝10
【分析】先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可得出答案．
【解答】解：∵（x+5）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+10x﹣15＝2x2+7x﹣15， 又∵（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15， ∴m＝7； 故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键；多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
12．（2分）已知x+y＝5，xy＝6，则x2+y2的值是（ ） A．1
B．13
C．17
D．25
【分析】将x+y＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．
【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， 将xy＝6代入得：x2+12+y2＝25， 则x2+y2＝13． 故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（2分）某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ） A．
B．
第11页（共22页）
C． D．
【分析】此题中的等量关系有：
①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半； ②男生人数+女生人数＝49．
【解答】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x﹣1＝y，即y＝2（x﹣1）；根据某班共有学生49人，得x+y＝49． 列方程组为故选：D．
【点评】列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案．
14．（2分）如图，在长a，宽b的一个长方形的场地的两边修一条公路，若公路宽为x，则余下阴影部分的面积是（ ）
．
A．ab﹣ax﹣bx+x2 C．ab﹣ax﹣bx+2x2
B．ab﹣ax﹣bx﹣x2 D．ab﹣ax﹣bx﹣2x2
【分析】表示出阴影部分的长与宽，计算即可得到面积． 【解答】解：根据题意得：（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2， 故选：A．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y＝（ ）
第12页（共22页）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x﹣y）中即可求出结论． 【解答】解：依题意得：解得：
，
，
∴x﹣y＝8﹣2＝6． 故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2分）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】表示出长方形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可确定出需要C类卡片的张数．
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+ab+2ab+2b2＝a2+3ab+2b2， 则需要C类卡片张数为3． 故选：C．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题：（每空3分，共12分）
17．（3分）把方程2x﹣y＝1化为用含x的代数式表示y的形式：y＝ 2x﹣1 ． 【分析】把x看做已知数求出y即可．
第13页（共22页）
【解答】解：方程2x﹣y＝1， 移项得：﹣y＝1﹣2x， 解得：y＝2x﹣1． 故答案为：2x﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y． 18．（3分）计算：199×201＝ 39999 ．
【分析】先变形为原式＝（200﹣1）×（200+1），然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝（200﹣1）×（200+1） ＝2002﹣12 ＝40000﹣1 ＝39999． 故答案为39999．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
19．（3分）已知10x＝2，10y＝5，则10x+y＝ 10 ． 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：∵10x＝2，10y＝5， ∴10x+y＝10x•10y＝2×5＝10． 故答案为：10
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 20．（3分）如图，在长为5，宽为4的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为 5 ．
【分析】设小矩形的长为x，宽为y，根据矩形的对边相等已经大矩形的长为5，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（5×4﹣5xy）中即可求出结论．
【解答】解：设小矩形的长为x，宽为y，
第14页（共22页）
依题意，得：解得：
，
，
∴5×4﹣5xy＝5×4﹣5×3×1＝5． 故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、用适当的方法解方程：（每个5分，共10分） 21．（10分）（1）（2）
；
；
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）
，
把①代入②得：2（2y﹣3）+3y＝8， 解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝1， 则方程组的解为（2）
； ，
①×2+②得：5x＝15， 解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣4， 则方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
四、化简计算：（每个4分，共12分） 22．（12分）（1）a5•a3÷a2； （2）（﹣2m）3﹣（m3）2；
第15页（共22页）
（3）（﹣2a2b）（abc）•；
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和同底数幂的除法求出即可； （2）先算乘方，再合并即可；
（3）根据单项式乘以单项式法则求出即可． 【解答】解：（1）a5•a3÷a2 ＝a5+32
﹣
＝a6；
（2）（﹣2m）3﹣（m3）2 ＝﹣8m3﹣m6；
（3）（﹣2a2b）（abc） •＝﹣a3b2c．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则等知识点，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． 五、化简计算：（每个5分，共10分）
23．（10分）（1）5x（2x+1）﹣（x+3）（5x﹣1）； （2）（π﹣2020）0+（）2﹣2101×（）100；
﹣
【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）5x（2x+1）﹣（x+3）（5x﹣1） ＝10x2+5x﹣（5x2+14x﹣3） ＝10x2+5x﹣5x2﹣14x+3 ＝5x2﹣9x+3；
（2）（π﹣2020）0+（）2﹣2101×（）100
﹣
第16页（共22页）
＝1+9﹣（2×）100×2 ＝1+9﹣2 ＝8．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 六、先化简，再求值：（7分）
24．（7分）（a+2）2+3（a+1）（a﹣1），其中a＝﹣1 小明的解法如下： 解：
＝a2+2a+4+3a2﹣3 ＝……
根据小明的解法解答下列问题：
（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中出现错误的在第 ① 步；
（2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程，并求出当a＝﹣1时的值． 【分析】（1）根据完全平方公式可知：（a+2）2＝a2+4a+4，可作判断； （2）先根据整式的混合运算顺序和法则化简原式，再代入求值可得．
【解答】解：（1）小明的解答过程里在标出①②③的几处中出现错误的在第①步； 故答案为：①；
（2）（a+2）2+3（a+1）（a﹣1） ＝a2+4a+4+3（a2﹣1） ＝a2+4a+4+3a2﹣3 ＝4a2+4a+1，
当a＝﹣1时，原式＝（2a+1）2＝（﹣2×1+1）2＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和法则．
七.统计题：（8分）
25．（8分）疫情期间，我校“停课不停学”，开展云视讯网上教学，为了解七年级学生课堂发言情况，随机抽取年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：
第17页（共22页）
A B C D E F
发言次数n 0≤n＜3 3≤n＜6 6≤n＜9 9≤n＜12 12≤n＜15 15≤n＜18
（1）E组人数为 4 人；
（2）被调查的学生人数为 50 人，A组人数为 3 人，并补全频数分布直方图； （3）求出扇形统计图中，“B”所对应的圆心角的度数：
（4）七年级共有学生1500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数． 【分析】（1）根据B、E两组发言人数的比和E组所占的百分比，求出B组所占的百分比，再根据B组的人数求出样本容量，从而求出E组的人数；
（2）用（1）求出的样本容量乘以A组人数所占的百分比，求出A组的人数，用总人数乘以C组人数所占的百分比得出C组的人数，从而补全统计图； （3）用360°乘以“B”所占的百分比即可；
（4）用总人数乘以发言次数不少于12次的人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E占8%， ∴B组所占的百分比是20%， ∵B组的人数是10，
∴样本容量为：10÷20%＝50， ∴E组人数为：50×8%＝4（人）； 故答案为：4；
第18页（共22页）
（2）被调查的学生人数为50， A组人数为：50×6%＝3（人）， C组的人数是50×30%＝15（人）， 补全频数分布直方图如下：
故答案为：50，3；
（3）“B”所对应的圆心角的度数是：360°×20%＝72°；
（4）F组所占的百分比是
×100%＝10%，
则全年级在这天里发言次数不少于12次的人数有：1500×（10%+8%）＝270（人）． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 八.应用题：（10分）
26．（10分）我校为做好高三年级复课工作，积极准备防疫物资，计划从新兴药房购买消毒液和酒精共40瓶，在获知北国超市有促销活动后，决定从北国超市购买这些物品．已知消毒液和酒精在这两家店的售价如表所示，且在新兴药房购买这些物品需花费900元． 品 名 商 店 新兴药房 北国超市
消毒液 （元/瓶）
24 20
酒精（元/瓶） 20 18
（1）求出需要购买的消毒液和酒精的数量分别是多少瓶？ （2）求从北国超市购买这些物品可以节省多少元？
第19页（共22页）
【分析】（1）设需要购买的消毒液x瓶，酒精y瓶，根据从北国超市购买消毒液和酒精共40瓶需花费900元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总价＝单价×数量求出从北国超市购买这些物品所需费用，用900减去该值即可得出结论．
【解答】解：（1）设需要购买的消毒液x瓶，酒精y瓶， 根据题意得：解得：
．
，
答：需要购买的消毒液25瓶，酒精15瓶．
（2）从北国超市购买这些物品所需费用为25×20+15×18＝770（元）， 节省的钱数为900﹣770＝130（元）． 答：从北国超市购买这些物品可节省130元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价＝单价×数量求出从北国超市购买这些物品所需费用．
九、解决问题：（9分）
27．（9分）观察下列关于自然数的等式： 1×3＝22﹣1，① 2×4＝32﹣1，② 3×5＝42﹣1，③ 4×6＝52﹣1，④ 5×7＝62﹣1，⑤
根据上述规律解决下列问题：
（1）用上面的形式填出第⑥式和第⑦式：
⑥6×8＝ 7 2﹣1 ⑦ 7 × 9 ＝ 8 2﹣1
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示） n（n+2）＝（n+1）2﹣1 ； （3）请你验证猜想的正确性．
【分析】（1）由规律：两个相差2的两个整数的积等于两个数的平均数的平方与1的差，进行解答；
（2）把规律：两个相差2的两个整数的积等于两个数的平均数的平方与1的差，用n的
第20页（共22页）
等式表示出来；
（3）运用整数的混合运算顺序和运算法则对等式左右两边进行计算便可．
【解答】解：（1）由题中前面6个算式可知，两个相差2的两个整数的积等于两个数的平均数的平方与1的差， 所以，⑥6×8＝72﹣1， ⑦7×9＝82﹣1， 故答案为：7；7；9；8；
（2）由规律可知：n（n+2）＝（n+1）2﹣1， 故答案为：n（n+2）＝（n+1）2﹣1；
（3）∵左边＝n（n+2）＝n2+2n， 右边＝n2+2n+1﹣1＝n2+2n， ∴左边＝右边，
∴n（n+2）＝（n+1）2﹣1．
【点评】本题是一个数字规律题，考查了数字规律探究，列代数式，整数的混合运算，关键是总结规律． 十、探索发现：（10分）
28．（10分）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① a2﹣b2 图② （a+b）（a﹣b） ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用
字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
第21页（共22页）
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为 12 ； ②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为 264﹣1 ． 【分析】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，而图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，可表示出面积为（a+b）（a﹣b）． （2）由由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式； ①利用公式将4m2﹣n2写成（2m﹣n）（2m+n）进而求出答案， ②连续两次利用平方差公式进行计算即可，
将原式转化为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再连续使用平方差公式，得出最后的结果．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； ①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12， 故答案为：12；
②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81； （2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）， ＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）， ＝264﹣1．
【点评】考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
第22页（共22页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容