2018-2019学年江苏省溧水高级中学高二下学期期中考试 数学
试卷满分:160分 考试时间:120分钟
一.填空题(每题5分,共70分)
1.设复数z12i(i为虚数单位),则复数z的模为 ▲ . 2.若集合A={﹣1,0,1},B={x|0<x<2},则A∩B= ▲ .
3.某中学共有学生1800人,其中高一年级600人,高二年级550人,高三年级650人,现采用分层抽样的方法,抽取180人进行体育达标检测,则抽取的高二年级学生人数为 ▲ . 4.某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了500名学生,他们的每天 在校平均开销都不低于20元且不超过60元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校 平均开销在[40,60]元的学生人数为 ▲ .
Read x If x1 Then ylnx Else
End If Print y
第5题图
yex (第4题图)
5.执行如图所示的伪代码,若x1,则输出的y的值为 ▲ .
6.将一质地均匀的正四面体玩具(四个面分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷两次,观察向下一面的数字,则两次向下数字不同的概率为 ▲ .
7.已知一个边长为2的正六边形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子,则豆子落入正六边形内的概率为 ▲ .
abab+a,bR”是“28.“”成立的 ▲ 条件(用“充分不必要”或
开始 “必要不充分条件”或 “充要条件”或“既不充分也不
必要条件”之一填写)
S0,n1n<7 Y SS1n
N
9.执行如图所示的程序框图,输出的S值为 ▲ .
输出S
- 1 -
nn2 (第9题)
结束
3 4
4 2 4 6
5 2 8
10.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则 剩下4个数的方差为 ▲ .
11.设曲线yxlnx在点P(e,e)处的切线与直线xay10平行,则实数a= ▲ . 12.已知定义在R上的函数f(x)围为 ▲ .
13xxsinx,若f(2m1)f(1) ,则实数m取值范312xx3x0f(x)x0,当x(,m]时,f(x)的取值范围 4x13.已知函数
为[16,),则实数m的取值范围是 ▲ .
14.已知椭圆
(ab0)的左、右焦点为
,
,
、,是椭圆上异于顶点的一点,
在围▲.
上,且满足为坐标原点.则椭圆离心率的取值范
二.解答题(共六大题,满分90分)
15.(本题满分14分)某老师从参加高二年级一次考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均
为整数)分成六段[40,50),[50,60),…[90,100]后画出如下部分频率分布直方 图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内,求恰好落在第二组的小矩形内的概率(不计墨点大小);
频率(3)若80分及以上为优秀,估计从高二年级优秀的学生中抽取一位学生分数不低于90
分的概率. 组距
0.03
0.025
0.02 0.015 0.01 - 2 -
0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数
nn1f(n)5231(nN),用数学归纳法证明f(n)能被816. (本题满分14分)已知
整除.
22f(x)x4ax3a17. (本题满分14分)已知函数
(aR),
(1)当a1时,求关于x的不等式f(x)1的解集;(2) 试解关于x的不等式:f(x)0. 18. (本题满分16分)
x2y221(ab0)2ab 已知椭圆:的右焦点为F,过F作直线l(不过原点O)交椭圆于A,B两点,若A,B的中点为M,直线OM交椭圆的右准线于N (1)若直线l垂直X轴时,ABMN,求椭圆的离心率e;
e(2)若椭圆的离心率的值。
19.(本题满分16分)
12,当直线l斜率存在时设为k1,直线NF的斜率设为k2,试求k1k2(第18 题图)
南京市溧水区计划在无想山建一个竖直长度为20米的人工瀑布AB,同时在瀑布AB正前方修建一座观光电梯DE。如图所示,瀑布底部A距离水平地面的高度AC为60米,电梯上设有一个安全拍照口P,P上升的最大高度为60米。设P距离水平地面的高度为a米,P处拍瀑布的视角BPA为。摄影爱好者发现,要使照片清晰,视角不能小于30。
- 3 -
(1)当a=50米时,视角恰好为30,求电梯和山脚的水平距离CD。
(2)要使电梯拍照口P的高度a在52米及以上时,拍出的照片均清晰,试求出电梯和山脚的水平距离CD的取值范围。
20. (本题满分16分)
2g(x)(2a)lnx,h(x)lnxax(aR),令f(x)g(x)h(x),其中h(x)已知函数
是函数h(x)的导函数.
(Ⅰ)当a0时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)当8a2时,若存在x1,x21,3,使
2|f(x1)f(x2)|(mln3)a2ln3ln(a)3得:恒成立,求实数m的取值范围.
- 4 -
参考答案高二期中数学
一:填空(70分) 1.
1 3 . 55 4 . 330 3 2. 3335 . e 6 . 4 7. 4 8. 充分不必要
1239 . 15 10. 14 11. 2 12. m0 1(,1)13. 2,4 14. 2
二:解答题 15.解:(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
f41(0.0250.01520.010.005)100.3, ………………2分
直方图如右所示; ………4分
频率(2)记 “墨点恰好落在第二组的小矩
形内”为事件A,洒墨点是随机的,所 组距
以认为落入每个矩形内的机会是均等的,
0.03 于是事件A的概率等于第二个矩形面积
0.025 与所有矩形的面积之比,即 0.02 P(A)
40 50 60 70 80 90 100 分数
故墨点恰好落在第二组的小矩形内的概率为0.15; ………………9分
(3)由图可得,80及以上的分数所在的第五、六组,频率和为(0.0250.005)100.3,所以其中优秀的学生有600.318人,而不低于90分所在的为第六组,频率
100.0150.151
0.015 0.01 0.005 0.005100.05,则不低于90分的学生有600.053人,在优秀的学生中抽取一位学
生是等可能的,有18种可能,记“优秀的18学生中抽取一位学生分数不低于90分”为事件B,则事件B包含其中的3个基本事件,所以事件B的概率为
P(B)31186, ………………13分
利用抽样学生的成绩,故可估计从高二年级优秀的学生中抽取一位学生分数不低于90分的
- 5 -
1概率为6. …………………14分
n1f(n)5231. 16.证明.
(1)当n=1时,f(1)8,显然能被8整除;……………… 2分 (2)假设n=k(k1,kN)时,f(k)523则当nk+1时,有:
*kk11能被8整除,…3分
f(k1)5k123(k1)11 =55k63k11
(5k23k11)4(5k3k1) =f(k)4(5k3k1)
kk1kk1kk15,34(53)能被8整除,又由假设53因为均为奇数,它们的和必为偶数,所以
知f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除,所以当nk+1时命题也成立. 综上(1)(2)可知,f(n)能被8整除. ……………14分 17.解:(1)a1时
f(x)x24x31,即:x24x20
2令x4x20得:x22或 x22…………………2分
x22或 x22…………………5分
f(x)1的解集为:(,22)(22,)……………6分
22x4ax3a0 (2)
(xa)(x3a)0……………8分
(ⅰ)当a0时:3axa (ⅱ) 当a0时:x (ⅲ) 当a0时:ax3a
- 6 -
………………………………………14分 (每种情况2分)
2b2a2ABMNb218.解:(1)a,
ccc……………………………4分 ec由ABMN得:
a12…………………………………………………6分
ec1(2)
a2得a2c
yk1(xc)x2y2联立4c23c21得:(34k21)x28k21cx(4k21c212c2)0……………8分
8k23xx1c8k1c1234k2y1y222k1c1,34k1…………………9分
2M(4k1c3k1c34k2,134k2)1………………………………………………………11分
y33直线OM方程为:
4kxN(4c,c)1k1………………………………13分
3ckk121所以
4cck1,即k1k21………………………………………16分
(其它解法参照给分)
19.解:(1)设CDx,过P作PHBC,垂足为H。
tanBPH30xtanAPH10,x,…………………………………………2分
3010tantan(BPHBPH)xxtan3013010x.x…………………………4分
解得:CDx103………………………………………………6分 解法二:用余弦定理求解给分。
- 7 -
tanBPH(2)
80a60atanAPHx,x
80a60axxtantan(BPHBPH)80a60a1.xx……………………………8分
a52,60由题知tantan30在上恒成立…………………………………10分
203xx2(80a)(60a)在a52,60上恒成立…………………12分
203xx2224解得103219x103219…………………15分
答:CD的取值范围103219x103219……………………………16分 解法二:利用P点轨迹方程是圆的一部分给分
20.(Ⅰ)函数定义域为:(0,) 当a0时,令当所以所以
解得时,
; ,当
时,
,+∞)(4分) (2分)
的单调递减区间为(0,时
取得极小值
),单调递增区间为(
,无极大值.(6分)
(Ⅱ)当所以所以所以因为存在
,使得
即
时,恒有
成立,
在[1,3]上是单调递减.
,(9分)
恒成立,
- 8 -
所以
又<0,所以
令=-,则∈(2,8),构造函数所以当当所以
所以m的取值范围为(
时,时,
, ,当
时,
(12分)
整理得
,
,此时函数单调递增,
,此时函数单调递减,
,
,+∞). (16分)
- 9 -
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