正态分布N(0,^2 ),求X^n的期望
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发布时间：2024-10-23 22:09
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时间：2024-10-25 22:49
由题意得到，t=x/σ服从N(0,1)
f(t)=[1/√(2π)] *e^(-t^2/2)
可以先求出E(t^n), 然后E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)
E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt
所以n是奇数时，E(t^n)=0
当n是偶数时，
E(t^n)=∫(-∞,+∞)[t^nf(t)]dt
=2∫(0,+∞)[t^nf(t)]dt
=2[1/√(2π)] ∫(0,+∞)[(t^n)*e^(-t^2/2)]dt
=[(√2)^n/(√π)]∫(0,+∞) [(t/√2)^(n-1)]*[e^((-(t/√2)^2)]d((t/√2)^2)
令u=(t/√2)^2
所以
E(t^n)=[(√2)^n/(√π)] ∫(0,+∞) {[u^[(n-1)/2]}*[e^(-u)]
=[(√2)^n/(√π)]* Γ (n/2+1/2)
=[(√2)^n/(√π)]*[(n-1)!!(√π)/(√2)^n]
=(n-1)!!
所以
E(x^n)=(σ^n)*E(t^n)=0，当n时奇数时
(σ^n)*(n-1)!!，当n是偶数时
