arctanx/y分别对x,y求偏导数
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发布时间：2024-10-24 00:17
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时间：2024-11-13 19:27
1. 假设 z=arctan(x/y)，对 z 求关于 x 的偏导数，我们利用链式法则，将 arctan 函数视为外函数，(x/y) 视为内函数。求导过程中，内函数的变量 x 和 y 分别视为常数。因此，对于 x 的偏导数为：
∂z/∂x = 1/(1+(x/y)^2) * (dy/dx) = y/(x^2+y^2)。
2. 同样地，对 z 求关于 y 的偏导数，我们同样利用链式法则，求导过程中内函数的变量 x 和 y 分别视为常数。因此，对于 y 的偏导数为：
∂z/∂y = -1/(1+(x/y)^2) * (dx/dy) = -x/(x^2+y^2)。
3. 对于一元函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数的定义，我们考虑函数在 x 方向上的增量 △z 当 △x 趋近于 0 时的极限。如果这个极限存在，我们称这个极限值为函数在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)。这个值实际上是将 y 固定在 y0，然后求一元函数 z=f(x,y0) 在 x0 处的导数。
4. 类似地，对于一元函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处对 y 的偏导数的定义，我们考虑函数在 y 方向上的增量 △z 当 △y 趋近于 0 时的极限。如果这个极限存在，我们称这个极限值为函数在点 (x0,y0) 处对 y 的偏导数，记作 f'y(x0,y0)。这个值实际上是将 x 固定在 x0，然后求一元函数 z=f(x,y0) 在 y0 处的导数。
5. 当函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处的两个偏导数 f'x(x0,y0) 和 f'y(x0,y0) 都存在时，我们称函数在这一点可导。如果函数在整个定义域内每一点都可导，那么称函数在整个定义域内可导。在这种情况下，对于定义域内的每一点 (x,y)，都会有一个关于 x 和 y 的偏导数，这构成了一个新的二元函数，即原函数对 x 和 y 的偏导函数。简称为偏导数。
6. 按照偏导数的定义，当我们对多元函数关于一个自变量求偏导数时，将其余的自变量视为常数。求导的方法与一元函数的求导方法相同。
