...2/bn=1/an+1,Pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)……(1+b2n-1),求证:Pn>根号下2...

发布网友 发布时间：2024-10-24 01:50

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热心网友 时间：2024-11-06 07:11

1.

a1=1;

a2=1/3

a3=1/5

a4=1/7

猜想an 

=1/(2n-1)(n=1,2,3,4,...)

用数学归纳法证明

假定n=k时成立，即：ak=1/(2k-1)

那么当n=k+1时：

a(k+1)=ak(2ak+1)=(1/(2k-1))/(2*(1/(2k-1)+1))=1/(2(k+1)-1)

猜想得证。

2.

因为：2/bn 

= 1/an + 1

所以：2/bn = (an+1)/an

bn= 2an/(an+1) = 1/n

Pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)……(1+b2n-1)

    =2*4/3*6/5*.......2n/(2n-1)

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热心网友 时间：2024-11-06 07:06

证：
a(n+1)=an/(2an +1)
1/a(n+1)=(2an +1)/an=1/an +2
1/a(n+1) -1/an=2，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
1/an=1+2(n-1)=2n-1
2/bn=1/an +1=2n-1+1=2n
bn=1/n
Pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)...[1+b(2n-1)]
=(1+1/1)(1+1/3)(1+1/5)...[1+1/(2n-1)]
=(2/1)(4/3)(6/5)...[(2n)/(2n-1)]
=2ⁿ×n!/[1×3×5×...×(2n-1)]
n=1时，P1=2×1/1=2 √(2×1+1)=√3<2，不等式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，不等式成立，即PK>√(2k+1)，则当n=k+1时，
P(k+1)=2^(k+1)×(k+1)!/[1×3×5×...×(2k+1)]
>[2(k+1)/(2k+1)]√(2k+1)
=(2k+1+1)/√(2k+1)
=[(√(2k+1)²+1]/√(2k+1)
=√(2k+1) +1/√(2k+1)>√(2k+1)=√[2(k+1)-1]，不等式同样成立。
k为任意正整数，因此不等式对于所有正整数n均成立。
综上，得Pn>√(2n+1)

热心网友 时间：2024-11-06 07:12

a(n+1)=an/(2an+1),
取倒数
1/a(n+1)=(2an+1)/an
1/a(n+1)=2an/an+1/an
1/a(n+1)=2+1/an
1/a(n+1)-1/an=2
所以1/an是以2为公差的等差数列
1/an=1/a1+(n-1)d
1/an=1/1+2(n-1)
1/an=2n-1
2/bn=1/an+1
2/bn=2n-1+1
2/bn=2n
1/bn=n
bn=1/n

Pn=(1+b1)(1+b3)(1+b5)……(1+b2n-1)
=(1+1)(1+1/3)(1+1/5)........[1+1/(2n-1)]
=2*4/3*6/5*..............*2n/(2n-1)
P(n+1)=(1+b2)(1+b4)(1+b6)……(1+b2n)
=(1+1/2)(1+1/4)(1+1/6)........[1+1/2n)]
=3/2*5/4*7/6*........(2n+1)/2n
Pn*P(n+1)=2n+1
因为Pn>P(n+1)
所以(Pn)^2>Pn*P(n+1)=2n+1
即Pn>√(2n+1)