集合与集合间的包含关系
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发布时间：2024-10-24 14:01
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时间：2024-10-24 18:37
定义 1.集合(set)，由确定的、彼此不同的对象结合在一起的联合体构成。构成集合的对象称为该集合的元素(element).
定义 2.如果某个元素属于一个集合，称其为集合的元素，记作该元素属于该集合.
定义 3.集合只有在满足特定性质时才被定义。
定义 4.空集是不包含任何元素的集合。
推论 1.空集是唯一的。
证明：假设存在两个不同的空集，则它们各自不包含任何元素，这与空集的唯一性相悖。
例 1.在自然数集中，讨论能用少于二十四个汉字表示的自然数构成的集合。有限的汉字数量限制了自然数的数量，从而导致了最小数的描述产生矛盾。
例 2.集合与自身的关系导致悖论。若集合包含自己，则产生矛盾。若不包含，则同样产生矛盾。
悖论促使公理化集合论的产生。集合间的包含关系定义为若集合A有集合B的元素，则A为B的子集。
命题 1.若集合A有集合B的元素，且B有A的元素，则A等于B。
命题 2.空集是任何集合的子集。
证明：对任意集合A，空集没有元素，故其为A的子集。
问题：逻辑上，前提为假则命题总是正确的。但在论述中，空集为任何集合的子集的论证符合逻辑。
