(1)若n(n∈N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求n的最小值...
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发布时间：2024-10-24 02:27
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时间：2024-10-26 11:51
（1）因为103=1000，113=1331，123=1728，133=2197，
123＜2005＜133，
故n≠1．
因为2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，所以存在n=4，满足题意；
若n=2，由103+103＜2005，得较大正文体边长大于11且小于13，即为11或12
∵2005-113=674，2005-123=277，
而674 与277均不是完全立方数，
故n≠2
若n=3，设此三个正方体中最大一个的棱长为x，由83+83+83＜2005，得较大正文体边长大于8且小于13，即为9或10或11或12
由于2005-2×93=547，不是完全立方数
2005-93-2×83＞0，故x=9不满足要求；
同理可证x=10，x=11，x=12均不满足要求；
故n≠3
综上所述，n的最小值为4．
（2）设n个正方体的棱长分别是x1，x2，…，xn
则x13+x23+…+xn3=20022005…⑤
由2002≡4（mod9），43≡1（mod9），
20022005≡42005≡4668×3+1≡（43）668×4≡4（mod9）…⑥
又当x∈N*时，x3≡0，±1（mod9），
所以x134（mod9），x13+x234（mod9），x13+x23+x334（mod9），…⑦
由 ⑥、⑦可知，n≥4．
而2002=103+103+1+1，则
20022005=20022004×（103+103+1+1）
=（2002668×10）3+（2002668×10）3+（2002668）3+（2002668）3．
因此n=4为所求的最小值．
